一、Γ(z)的解析开拓积分式：
1、Γ(z)的原始定义：
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1e-tdt，（ReZ＞0）
2、Γ(z)的基本性质：Γ(z+1)=zΓ(z)
证明：（ReZ＞0）
Γ(z+1)=∫(0,∞)tze-tdt=－∫(0,∞)tzde-t
=－│tze-t│(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1e-tdt
=zΓ(z) 得证
(注意：分部积分的第一部分等于零，是推导其基本性质的关键。)
3、（-1＜ReZ＜0）的情况：
Γ(z+1)=∫(0,∞)tze-tdt=－∫(0,∞)tzd(e-t-A)
=－│tz(e-t-A)│(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1(e-t-A)dt.
当A=1时，分部积分的第一部分等于零。由Γ(z+1)=zΓ(z)得到：
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1(e-t-1)dt.
4、（-2＜ReZ＜-1）的情况：
Γ(z+1)=∫(0,∞)tz(e-t-1)dt=－∫(0,∞)tzd(e-t+t-A)
=－│tz(e-t+t-A)│(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1(e-t+t-A)dt.
当A=1时，分部积分的第一部分等于零。由Γ(z+1)=zΓ(z)得到：
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1(e-t+t-1)dt.
5、依此类推，取N=『-ReZ』为小于(-ReZ)的最大整数，于是得到Γ(z)的解析开拓积分式：
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1[e-t-Σ(1/k!)(-t)k]dt.
其中，k=0、1、···、N。当N为负整数时，Σ(1/k!)(-t)k为零。
二、H(k，z)的解析开拓积分式：
1、H(k，z)的原始定义：
H(k，z)=∫(0,∞)tz-1(et+1)-kdt,（ReZ＞0，k为正整数）
2、H(k，z)的基本性质：
H(k，z+1)-H(k+1，z+1)=(z/k)H(k，z).
证明：（ReZ＞0）
k[H(k，z+1)-H(k+1，z+1)]
=k∫(0,∞)tz(et+1)-kdt-k∫(0,∞)tz(et+1)-k-1dt
=k∫(0,∞)tzet(et+1)-k-1dt=－∫(0,∞)tzd(et+1)-k
=－│tz(et+1)-k│(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1(et+1)-kdt.
=zH(k，z)，得证
3、当（-1＜ReZ＜0）时，
k[H(k，z+1)-H(k+1，z+1)]=k∫(0,∞)tzet(et+1)-k-1dt
=－∫(0,∞)tzd[(et+1)-k-A]
=－│tz[(et+1)-k-A]│(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1[(et+1)-k-A]dt.
当A=2-k时，分部积分的第一部分等于零。由基本性质得到：
H(k，z)=∫(0,∞)tz-1[(et+1)-k-2-k]dt.
4、当（-2＜ReZ＜-1）时，
k[H(k，z+1)-H(k+1，z+1)]
=k∫(0,∞)tz[(et+1)-k-2-k]dt-k∫(0,∞)tz[(et+1)-k-1-2-k-1]dt
=k∫(0,∞)tz[et(et+1)-k-1-2-k-1]dt
=－∫(0,∞)tzd[(et+1)-k+2-k-1kt-A]
=－│tz[(et+1)-k+2-k-1kt-A]│(0,∞)+z∫(0,∞)[tz-1[(et+1)-k+2-k-1kt-A]dt.
当A=2-k时，分部积分的第一部分等于零。由基本性质得到：
H(k，z)=∫(0,∞)tz-1[(et+1)-k+2-k-1kt-2-k]dt.
5、依此类推，取N=『-ReZ』为小于(-ReZ)的最大整数，于是得到H(k，z)的解析开拓积分式：
H(k，z)=∫(0,∞)tz-1[(et+1)-k-A(t)]dt.
其中，A(t)为(et+1)-k关于t的幂级数N次项及前的和。
三、解析开拓李氏定理：
u(x)是关于ex的真分式，且在(0,∞)内无奇点。
广义定积分∫(0,∞)xz-1u(x)dx，当ReZ≤n时，发散；
当ReZ＞n时，收敛，且有基本性质：z∫(0,∞)xz-1u(x)dx=∫(0,∞)xzu'(x)dx。
取N=『-ReZ』为小于(-ReZ)的最大整数， 则解析开拓的积分式为：
∫(0,∞)xz-1[u(x)-A(x)]dx
其中，A(x)为u(x)关于x幂级数N次项及前的和，即从(-n)次项到N次项的和。当N＜(-n)时，A(x)=0.
四、ζ(z)、η(z)、ω(z)、ε(z)的解析开拓积分式：
（一）ζ(z)、η(z)、ω(z)、ε(z)的原始定义：
（1）ζ(z)=1+2-z+3-z+4-z+······ （ReZ＞1）
（2）η(z)=1-2-z+3-z-4-z+ ······ （ReZ＞0）
（3）ω(z)=1+3-z+5-z+7-z+ ··· ···（ReZ＞1）
（4）ε(z)=1-3-z+5-z-7-z+ ······ （ReZ＞0）
（二）ζ(z)、η(z)、ω(z)的全定义关系式：
（1）η(z)=(1-21-z)ζ(z),
（2）ω(z)=(1-2-z)ζ(z),
（3）2ω(z)=η(z)+ζ(z).
（三）ζ(z)、η(z)、ω(z)、ε(z)的原始定义积分式：
（1）Γ(z)ζ(z)=∫(0,∞)tz-1(et-1)-1dt，（ReZ＞1）
（2）Γ(z)η(z)=∫(0,∞)tz-1(et+1)-1dt，（ReZ＞0）
（3）Γ(z)ω(z)=∫(0,∞)tz-1et(e2t-1)-1dt.（ReZ＞1）
（4）Γ(z)ε(z)=∫(0,∞)tz-1et(e2t+1)-1dt.（ReZ＞0）
（四）ζ(z)、η(z)、ω(z)、ε(z)的解析开拓积分式：
取N=『-ReZ』为小于(-ReZ)的最大整数，由解析开拓定理可得到ζ(z)、η(z)、ω(z)、ε(z)的解析开拓积分式：
1、Γ(z)ζ(z)=∫(0,∞)tz-1{(et-1)-1-∑[Bk(0)/(k!)]tk-1}dt，
其中，k=0、1、·····、N+1，Bk(0)为伯努利数；
2、Γ(z)η(z)=∫(0,∞)tz-1{(et+1)-1-2-1∑[Ek(0)/(k!)]tk}dt，
其中，k=0、1、·····、N，Ek(0)为旧欧拉数；
3、Γ(z)ω(z)=∫(0,∞)tz-1{et(e2t-1)-1-∑[Bk(1/2)/(k!)](2t)k-1}dt，
其中，k=0、1、·····、N+1，Bk(1/2)为伯努利多项式Bk(x)的值(x=1/2)；
4、Γ(z)ε(z)=∫(0,∞)tz-1{et(e2t+1)-1-2-1∑[Ek(1/2)/(k!)](2t)k}dt.
其中，k=0、1、·····、N，Ek(1/2)为欧拉多项式Ek(x)的值(x=1/2)。
5、Bk(0)、Ek(0)、Bk(1/2)的三者关系：
Bk(1/2)=(21-k-1)Bk(0),
kEk-1(0)=(2-21+k)Bk(0).
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