一、双曲数：
（1） chθ+jshθ=eθj (j 2=1)
（2） a+cj=reθj
r=√(a2-c2) (a ＞｜c｜)
chθ=a/r，shθ=c/r.
（3） (chθ+jshθ)n=ch(nθ)+jsh(nθ)（n为整数）
二、双复数：
z=a+bi+cj+dk (a、b、c、d为实数)
i2=k2=-1， j 2=1
ij=k，jk=i，ik=-j
三、双复数的除法：
(1) 0不能作除数；
(2) (1±j)一般不能作除数(即a=c且b=d，或a+c=0且b+d=0)；
(3) 1/(a+cj)=(a-cj)/(a2-c2)；
(4) 1/(a+bi+cj+dk)=(a-bi+cj-dk)/[(a+cj)2-(bi+dk)2]
=(a-bi+cj-dk)/[(a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)j ].
四、双复数的开方：
(1) z2=1：z1,2=±1，z3,4=±j
(2) z2=-1：z1,2=±i，z3,4=±k=j z1,2.
(3) z2=j：z1,2=±[1/2+(1/2)i+(1/2)j -(1/2)k]，
z3,4=±[1/2-(1/2)i+(1/2)j+(1/2)k]=j z1,2.
(4) z2=-j：z1,2=±[1/2+(1/2)i -(1/2)j+(1/2)k]，
z3,4=±[-1/2+(1/2)i+(1/2)j+(1/2)k]=j z1,2.
(5) 双复数开n次方，有n2个双复根。
五、双复数的性质：
(1) 若z1z2=0，则有三种解：
① z1=0，② z2=0，③ z1=A(1+j )且z2=B(1- j )（A、B为任意双复数）
(2) 已知：z1z=z2z，有四种情况：
①若 z=0，则z1、z2为任意双复数；
② 若z含(1+j )因子，则z1=z2+A(1- j )；
③ 若z含(1-j )因子，则z1=z2+A(1+j )；
④若z≠0且不含(1±j )因子，则z1=z2.
(3) (a+bi+cj+dk)(1+j )=[(a+c)+(b+d)i ](1+j )；
(a+bi+cj+dk)(1-j )=[(a-c)+(b-d)i ](1-j ).
(4) 在双复数范围内，一元n次多项式一般有2n-1种因式分解方式；
(5) 双复数的运算是自封闭的；
(6) 复数和双曲数统一在双复数之中。
六、双复数的指数运算：
(1) eA+Bi+Cj+Dk=r(cosB+isinB)(chC+jshC)(cosD+ksinD)
=a+bi+cj+dk
(2) r=eA={[(a+c)2+(b+d)2][(a-c)2+(b-d)2]}1/4
(3) reC=[(a+c)2+(b+d)2]1/2
(4) r·cosBcosD=a·chC-c·shC
r·sinBsinD=a·shC-c·chC
r·sinBcosD=b·chC-d·shC
r·cosBsinD=d·chC-b·shC
(5) A(1±j )无指数形式；
(6) a+cj 的指数形式：
①｜a｜ ＞｜c｜：a+cj =remπi+θj+nπi (m、n为整数)
r =√(a2-c2) ，chθ=(a/r)(-1)m+n，shθ=(c/r)(-1)m+n；
①｜a｜＜｜c｜：a+cj =re(m+1/2)πi+θj+(n+1/2)πi (m、n为整数)
r =√(c2-a2) ，chθ=(c/r)(-1)m+n+1，shθ=(a/r)(-1)m+n+1。
七、双复数变换式：
sinx=sin(x j) / j=sh(xi) / i=sh(xk) / k
cosx=cos(x j)=ch(xi)=ch(xk)
shx=sh(x j) / j=sin(xi) / i=sin(xk) / k
chx=ch(x j)=cos(xi)=cos(xk)
八、四复数的运算规则：
z=a+bi+cj1+dk1+ej2+fk2+gj3+hk3
j12=j22=j32=1,
k12=k22=k32=i2= -1,
j1j2=j3，j1j3=j2，j2j3=j1,
k1k2=ik3= - j3,
k1k3=ik2= - j2,
k2k3=ik1= - j1,
ij1= j2k3=j3k2=k1,
ij2= j1k3=j3k1=k2,
ij3=j1k2= j2k1=k3,
j1k1=j2k2=j3k3=i.
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