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tujiengshuxue 的博客

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日志

 
 

双曲数与双复数  

2012-03-02 04:22:59|  分类: 代数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一、双曲数:

(1)  chθ+jshθ=eθj   (j 2=1)

(2)      a+cj=reθj 

                r=(a2-c2)    (a >|c|)

               chθ=a/r,shθ=c/r.

(3) (chθ+jshθ)n=ch(nθ)+jsh(nθ)(n为整数

 

二、双复数:

         z=a+bi+cj+dk  (a、b、c、d为实数)

         i2=k2=-1,   j 2=1

         ij=kjk=iik=-j

 

三、双复数的除法:

(1)  0不能作除数;

(2)  (j)一般不能作除数(即a=c且b=d,或a+c=0且b+d=0);

(3)  1/(a+cj)=(a-cj)/(a2-c2);

(4)   1/(a+bi+cj+dk)=(a-bi+cj-dk)/[(a+cj)2-(bi+dk)2]

                                 =(a-bi+cj-dk)/[(a2+b2+c2+d2+2(ac+bd)j ].

 

四、双复数的开方:

(1)  z2=1:z1,2=±1,z3,4j      

(2)  z2=-1:z1,2iz3,4k=j z1,2.

(3)   z2=jz1,2=±[1/2+(1/2)i+(1/2)j -(1/2)k],

                   z3,4=±[1/2-(1/2)i+(1/2)j+(1/2)k]=z1,2.  

(4)   z2=-jz1,2=±[1/2+(1/2)i -(1/2)j+(1/2)k],
                    z3,4=±[-1/2+(1/2)i+(1/2)j+(1/2)k]=z1,2.  

(5)    双复数开n次方,有n2个双复根。

 

五、双复数的性质:

(1)   若z1z2=0,则有三种解:

            z1=0,② z2=0,③ z1=A(1+j )且z2=B(1- j )(A、B为任意双复数)

(2)  已知:z1z=z2z,有四种情况:

         ①若 z=0,则z1、z2为任意双复数;

         ② 若z含(1+j )因子,则z1=z2+A(1- j );

         ③ 若z含(1-j )因子,则z1=z2+A(1+j );

         ④若z≠0且不含(1±j )因子,则z1=z2.

(3)    (a+bi+cj+dk)(1+j )=[(a+c)+(b+d)i ](1+j );

         (a+bi+cj+dk)(1-j )=[(a-c)+(b-d)i ](1-j ).

(4)   在双复数范围内,一元n次多项式一般有2n-1种因式分解方式;

(5)   双复数的运算是自封闭的;

(6)   复数和双曲数统一在双复数之中。

 

六、双复数的指数运算:

(1)    eA+Bi+Cj+Dk=r(cosB+isinB)(chC+jshC)(cosD+ksinD)

                     =a+bi+cj+dk 

(2)     r=eA={[(a+c)2+(b+d)2][(a-c)2+(b-d)2]}1/4

(3)     reC=[(a+c)2+(b+d)2]1/2

(4)     r·cosBcosD=a·chC-shC

          r·sinBsinD=a·shC-chC 

          r·sinBcosD=b·chC-d·shC

          r·cosBsinD=d·chC-b·shC

(5)   A(1±j )无指数形式;

(6)  a+cj 的指数形式:

a >|c|:a+cj =reij+nπi (m、n为整数)

                              r =(a2-c2) ,chθ=(a/r)(-1)m+n,shθ=(c/r)(-1)m+n

a|<|c|:a+cj =re(m+1/2)πij+(n+1/2)πi (m、n为整数)

                              r =(c2-a2) ,chθ=(c/r)(-1)m+n+1,shθ=(a/r)(-1)m+n+1

 

七、双复数变换式:

          sinx=sin(x j) / j=sh(xi) / i=sh(xk) / k

          cosx=cos(x j)=ch(xi)=ch(xk)

           shx=sh(x j) / j=sin(xi) / i=sin(xk) / k

           chx=ch(x j)=cos(xi)=cos(xk)

 

八、四复数的运算规则:

         z=a+bi+cj1+dk1+ej2+fk2+gj3+hk3

                      j12=j22=j32=1,

                      k12=k22=k32=i2= -1,

                      j1j2=j3j1j3=j2j2j3=j1,

                     k1k2=ik3= - j3,

                     k1k3=ik2= - j2,

                     k2k3=ik1= - j1,

                     ij1= j2k3=j3k2=k1,

                     ij2= j1k3=j3k1=k2,

                     ij3=j1k2= j2k1=k3,

                     j1k1=j2k2=j3k3=i.

                 

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