一、收敛积分的发散变换是同解变换的例子：
（1）高斯积分公式：
普西函数ψ(z)=∫(0,1)[-1/lnt-tz-1/(1-t)]dt（ReZ＞0）
（2）狄利克莱积分公式的发散变换：
ψ(z)=∫(0,∞)[e-x-(1+x)-z]x-1dx（ReZ＞0）
=∫(0,∞)e-xx-1dx-∫(0,∞)(1+x)-zx-1dx
在第一个发散积分中，令e-x=t； 在第二个发散积分中，令1/(1+x)=t。即得高斯积分公式。
二、收敛积分的发散变换不是同解变换的例子：
A=∫(0,∞)[ta/(et+1)]dt （0＞a＞-1，该积分收敛）
=∫(0,∞)[ta/(et-1)]dt-2∫(0,∞)[ta/(e2t-1)]dt
在第一个发散积分中，令t=x； 在第二个发散积分中，令2t=x。即得
A=(1-2-a)∫(0,∞)[xa/(ex-1)]dx（0＞a＞-1，该积分发散）
三、分析：
（1）收敛积分的发散变换是同解变换的必要条件：收敛补项函数的积分=0
（2）ψ(z)=∫(0,∞)[e-x-(1+x)-z]x-1dx（ReZ＞0）
=∫(0,∞)(e-x-1/2)x-1dx-∫(0,∞)[(1+x)-z-(1+x)-1]x-1dx+∫(0,∞)[(1/2)x-1-(1+x)-1x-1]dx
收敛补项函数的积分=∫(0,∞)[(1/2)x-1-(1+x)-1x-1]dx
=(ε→+0)∫(ε,1/ε)[(1+x)-1-(1/2)x-1]dx=0
（3）从原则上讲，收敛积分不能进行发散变换
（4）A=∫(0,∞)[ta/(et+1)]dt （0＞a＞-1，该积分收敛）
=∫(0,∞)ta[1/(et-1)-1/t]dt-2∫(0,∞)ta[1/(e2t-1)-1/(2t)]dt
在第一个收敛积分中，令t=x； 在第二个收敛积分中，令2t=x。即得
A=(1-2-a)∫(0,∞)xa[1/(ex-1)-1/x]dx
四、发散变换的分类：
（1）分项发散变换：拆分被积函数（一般情况非同解）
（2）分段发散变换：拆分积分区间（“倒元变换”是同解）
五、李氏定理：
对于“一类不定型广义积分”，只有采用分段式的“倒元变换”，才不会在数学运算变换中出现矛盾(即数学危机)。(“倒元变换”是计算“不定型广义积分”的专用词汇)
七种不定型：
（1）一类不定型：0/0、∞/∞、0×∞
（2）二类不定型：00、∞0、1∞（取对数，变为一类不定型）
（3）三类不定型： ∞-∞ （取指数，变为一类不定型）
积分发散的分类：
（1）定发散：积分值为∞
（2）不定发散：积分值不固定（其中有一类“不定型广义积分”）
不定型广义积分的两个例子：
（1）A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
=∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx+∫(1,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx(倒元变换)
=∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx-∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
=0
（2）γ=∫(0,∞)(1/2-e-x)x-1dx
=∫(0,1)(1/2-e-x)x-1dx+∫(1,∞)(1/2-e-x)x-1dx(倒元变换)
=∫(0,1)(1/2-e-x)x-1dx+∫(0,1)(1/2-e-1/x)x-1dx
=∫(0,1)(1-e-x-e-1/x)x-1dx=欧拉常数
不定型广义积分的分类：
（1）一类不定型广义积分： ∫(0,∞)f(x)dx=(ε→+0)∫(ε,1/ε)f(x)dx
（2）二类不定型广义积分：∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)[∫(a,c-ε)f(x)dx+∫(c+ε,b)f(x)dx]
（3）三类不定型广义积分：∫(a,b)f(x)dx=(ε→+0)∫(a+ε,b-ε)f(x)dx
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