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tujiengshuxue 的博客

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椭圆的共轭点定理  

2014-03-31 22:28:39|  分类： 几何学 |  标签： |举报 |字号大中小 订阅

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椭圆的共轭点定理：
椭圆(x/a)2+(y/b)2=1的右顶点A(a,0)、上顶点B(0,b)，共轭点P(xp,yp)在椭圆弧AB上，其中xp=a√[a/(a+b)]、yp=b√[b/(a+b)]。则 
                  (BP)-(AP)=a-b（小括号表示椭圆弧长）

证明：
（1）由第二类椭圆积分加法公式：
E(x_1;k)+E(x_2;k)=E\left(\arcsin\frac{\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}\sin x_1+\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}\sin x_2}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2};k\right)\,\!
+\frac{k^2\sin^2 x_1\sin x_2\cos x_2\sqrt{1-k^2\sin x_2}+k^2\sin x_1\sin^2 x_2\cos x_1\sqrt{1-k^2\sin x_1}}{1-k^2\sin^2 x_1\sin^2 x_2}\,\!
令x1=x2=θ且sinθ=1/√[1+√(1-k2)]代入上式化简得
                 2E(θ；k) - E(k) = 1-√(1-k2)
（2）令xp=a√[a/(a+b)]=a*sinθ、yp=b√[b/(a+b)]=b*cosθ
        得  sinθ=√[a/(a+b)]=1/√[1+√(1-e2)]（e为离心率）
∴     (BP)-(AP)=2(BP)-(AB)=2a*E(θ；e)-a*E(e)
        =a[1-√(1-e2)]=a-b   得证
                 


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